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2020考研數學沖刺:二重積分的計算思路

2019年10月08日來源:新東方

計算二重積分的基本思路是將其化作累次積分(也即兩次定積分),要把二重積分化為累次積分,有兩個主要的方式:一是直接使用直角坐標,二是使用極坐標。這是我們計算二重積分的兩個主要的武器。

首先,對直角坐標來說,主要考點有兩個:一是積分次序的選擇,基本原則有兩個:一是看區域,選擇的積分次序一定要便于定限,說得更具體一點,也就是要盡量避免分類討論;二是看函數,要盡量使第一步的積分簡單,選擇積分次序的最終目的肯定是希望是積分盡可能地好算一些,實踐表明,大多數時候,只要讓二重積分第一步的積分盡可能簡單,那整個積分過程也會比較簡潔,所以我們在拿到一個二重積分之后,可以根據它的被積函數考慮一下第一步把哪個變量看成常數更有利于計算,從而確定積分次序。二是定限,完成定限之后,二重積分就被化為了兩次定積分,就可以直接計算了。

以上是我們計算二重積分的主體思路,在此基礎之上,我們還可以利用對稱性,它在二重積分的計算中雖然屬于輔助性的技能,但如果恰當使用的話,還是可以明顯地簡化計算。

二重積分中的對稱性分為兩種:一是奇偶性,二是輪換對稱性。一般來說,對稱性應該使用在拿到一個二重積分之后的第一步,只要積分區域關于某坐標軸是對稱的,就要先檢驗被積函數是否具有相應的對稱性,尤其要注意有沒有奇函數,以盡可能地簡化計算。

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